Blog de matemáticas: septiembre 2013

sábado, 21 de septiembre de 2013

TAREA MAPA MENTAL #2, BLOQUE 1

Este es mi mapa mental acerca del tema TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS, son 16 puntos♥

Pero como no se ven muy bien, aqui estan los 16 puntos:

1.-Los elementos que componen el triángulo son: los lados, los ángulos, los vértices, la altura, la mediana.

2.- un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 ángulos exteriores, 3 lados y 3 vértices.

3.- Hay tres tipos de triángulos (que se clasifican según sus lados): equilátero, con todos sus lados iguales. Isoseles, con dos lados iguales y uno diferente, y escaleno, con todos sus lados diferentes.

equilatero

isoseles

escaleno

Hay tres tipos de triángulos (que se clasifican según sus angulos): Rectangulo, cuando tiene un angulo recto. Acutangulo, cuando tiene los tres angulos agudos y obtusángulo, cuando tiene un angulo obtuso.

rectangulo

acutángulo

obtusángulo

4.- La suma de los angulos interiores de un triangulo siempre será de 180°, los exteriores será de 360°.

5.- Los triángulos tienen criterios de congruencia y son:
Triángulo Postulados de congruencia

Postulado LAL.svg

Postulado LAL (Lado, Ángulo, Lado)
Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno tienen la misma longitud que dos lados del otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre esos lados tienen también la misma medida.

Postulado ALA.svg

Postulado ALA (Ángulo, Lado, Ángulo)
Dos triángulos son congruentes si dos ángulos interiores y el lado comprendido entre ellos tienen la misma medida y longitud, respectivamente. (El lado comprendido entre dos ángulos es el lado común a ellos).

Postulado LLL.svg

Postulado LLL (Lado, Lado, Lado)
Dos triángulos son congruentes si cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que los correspondientes del otro triángulo.

6.- Se dice que dos triángulos son iguales o congruentes si al superponerlos todos sus vértices coinciden.

7.- A veces los triángulos tienen dos nombres, por ejemplo:
Triángulo isósceles rectángulo

Triángulo isóseles rectángulo: tiene un ángulo recto (90°) y dos ángulos iguales.

8.- Los triángulos (polígonos de tres lados) son los únicos polígonos siempre convexos, no pueden ser cóncavos, dado que ninguno de sus tres ángulos puede superar los 180 grados ó radianes.

CUADRILATEROS:

1.- Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Por lógica todos los cuadriláteros son cuadrángulos, ya que esta definición se aplica a los polígonos de cuatro ángulos.

<- cuadrilátero

2.- La suma de sus ángulos internos de un cuadrilátero son de 360°, y los externos son de 1080°

<-ángulos externos

3.- Los elementos que componen un cuadrilátero son: los lados, los ángulos, los vértices, la altura, la diagonal.

4.- Los cuadriláteros se clasifican en paralelogramos (tienen lados paralelos) y no paralelogramos (tienen lados desiguales o sólo dos lados paralelos):
Paralelogramos: romboide---.

cuadrado

rectangulo

rombo

romboide
No paralelogramos:

trapecio

trapezoide

5.- Los cuadriláteros siempre tienen que tener sus lados rectos y bidimensionales.

6.- Existen los cuadriláteros irregulares, que son los que no encajan en los paralelogramos, o sea:

7.- Quadrángulo (‘‘cuatro ángulos’’) y tetrágono (‘‘cuatro y polígono’’) son otros nombres para los cuadriláteros.

8.- Las relaciones entre los lados y los ángulos de un cuadrilátero nos sirven para clasificarlos.

Triángulos y cuadriláteros

Los triángulos y cuadriláteros son figuras geométricas. Los triángulos son polígonos formados por tres lados y tres ángulo mientras que los cuadriláteros tienen cuatro lados y se arman pegando dos triángulos. Es importante tener en cuenta que para reconocer una figura hay que conocer sus propiedades, a saber: cantidad de lados paralelos, cantidad de ángulos rectos y cantidad de lados iguales.

TRIÁNGULOS:

es un polígono determinado por tres segmentos que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados, es decir: no colineales). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.

Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 ángulos exteriores, 3 lados y 3 vértices.

Los puntos principales de una figura geométrica, como los vértices de un polígono, suelen ser designados por letras latinas mayúsculas: A, B, C,...

Un triángulo se nombra entonces como cualquier otro polígono, designando sucesivamente sus vértices, por ejemplo ABC. En el caso del triángulo, los vértices pueden darse en cualquier orden, porque cualquiera de las 6 maneras posibles (ABC, ACB, BAC,BCA, CAB, CBA), corresponde a un recorrido de su perímetro. Esto ya no es cierto para polígonos con más vértices.

Los lados del triángulo se denotan, como todos los segmentos, por sus extremos: AB, BC y AC.

Para nombrar la longitud de un lado, por lo general se utiliza el nombre del vértice opuesto, convertido a minúscula latina: $a$ para BC, $b$ para AC, $c$ para AB.

La notación general para el ángulo entre dos segmentos OP y OQ que comparten el extremo O es $\widehat{POQ} .\,$

También es posible utilizar una letra minúscula -habitualmente una letra griega- coronada por un acento circunflejo (en rigor, los ángulos deben ser designados por letras mayúsculas y su medida por minúsculas, pero a menudo se utilizan los mismos nombres para los dos con el fin de simplificar la notación). En el caso de un triángulo, el ángulo entre dos lados todavía puede, por tolerancia y en ausencia de ambigüedad, ser designado por el nombre del vértice común, coronado por un acento circunflejo. En resumen, en el ejemplo se pueden observar los ángulos:

$\widehat{\alpha} = \widehat{a} = \widehat{A} = \widehat{BAC} ,\ \widehat{\beta} = \widehat{b} = \widehat{B} = \widehat{ABC} ,\ \widehat{\gamma} = \widehat{c} = \widehat{C} = \widehat{ACB} . \,$

Triángulo: ABC. Lados: a, b, c. Ángulos: $\widehat{\alpha}, \widehat{\beta}, \widehat{\gamma} \,$

Clasificación de los triángulos

Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos:

-Por las longitudes:

Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:

Como triángulo equilátero, cuando los tres lados del triángulo son del mismo tamaño (los tres ángulos internos miden 60 grados.)
Como triángulo isósceles, si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.
Como triángulo escaleno, si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).


Equilátero	Isósceles	Escaleno

-Por la amplitud de sus ángulos:

Por la amplitud de sus ángulos los triángulos se clasifican en:

(Clasificación por amplitud de sus ángulos)

Triángulos

Rectángulos

Oblicuángulos

Obtusángulos

Acutángulos

Los triángulos también tienen nombres que te dicen los tipos de ángulos:

	Triángulo acutángulo Todos los ángulos miden menos de 90°
	Triángulo rectángulo Tiene un ángulo recto (90°)
	Triángulo obtusángulo Tiene un ángulo mayor que 90°

POSTULADOS DE CONGRUENCIA:

-Postulado LAL (Lado, Ángulo, Lado)

Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno tienen la misma longitud que dos lados del otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre esos lados tienen también la misma medida.

-Postulado ALA (Ángulo, Lado, Ángulo)

Dos triángulos son congruentes si dos ángulos interiores y el lado comprendido entre ellos tienen la misma medida y longitud, respectivamente. (El lado comprendido entre dos ángulos es el lado común a ellos).

-Postulado LLL (Lado, Lado, Lado)

Dos triángulos son congruentes si cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que los correspondientes del otro triángulo.

IMPORTANTE: la suma de los tres ángulos internos de un triángulo es siempre 180°, lo que equivale a π radianes:

$\alpha +\beta +\gamma =180 {}^{\circ}=\pi$

Combinar los nombres

A veces los triángulos tienen dos nombres, por ejemplo:

Triángulo isósceles rectángulo

Tiene un ángulo recto (90°), y los otros dos ángulos iguales

NOTAS:

La suma de las longitudes de dos de los lados de un triángulo es siempre mayor que la longitud del tercer lado.

El valor de la paralela media de un triángulo (recta que une dos puntos medios de dos lados) es igual a la mitad del lado paralelo.
Los triángulos (polígonos de tres lados) son los únicos polígonos siempre convexos, no pueden ser cóncavos, dado que ninguno de sus tres ángulos puede superar los 180°.

CUADRILÁTEROS:

Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros pueden tener distintas formas, pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales, y la suma de sus ángulos internos siempre da como resultado 360º.

Por lógica todos los cuadriláteros son cuadrángulos, ya que esta definición se aplica a los polígonos de cuatro ángulos

Elementos de un cuadrilátero:

Los componentes de un cuadrilátero son los siguientes:

4 vértices: puntos de intersección de los lados que conforman el cuadrilátero.
4 lados: segmentos limitados por dos vértices contiguos.
2 diagonales: segmentos cuyos extremos son dos vértices no contiguos.
4 ángulos interiores: conformados por dos lados y un vértice común.
4 ángulos exteriores: prolongación de los lados.

Clasificación de los cuadriláteros:

Cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos. Se clasifican en:

Cuadrado

Tiene los 4 lados iguales y los 4 ángulos rectos.

Rectángulo

Tiene lados iguales dos a dos y los 4 ángulos rectos.

Rombo

Tiene los cuatro lados iguales.

Romboide

Tiene lados iguales dos a dos.

Trapecios

Cuadriláteros que tienen dos lados paralelos, llamados base mayor y base menor. Se clasifican en:

Trapecio rectángulo

Tiene un ángulo recto.

Trapecio isósceles

Tiene dos lados no paralelos iguales.

Trapecio escaleno

No tiene ningún lado igual ni ángulo recto.

Trapezoides

Cuadriláteros que no tiene ningún lado igual ni paralelo.

Links de videos acerca del tema TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS:

https://www.youtube.com/watch?v=4p6z93RIb9U
http://www.youtube.com/watch?v=4qRU0lPejR0

PRESENTACIONES:

http://es.slideshare.net/190885/triangulos-y-cuadrilateros

http://es.slideshare.net/angelpechchan/triangulos-y-cuadrilateros-26473971

♥ :D

CONCLUSIÓN:
En lo personal, aprendí a diferenciar los triangulos de los cuadrilateros, aprendi sus nombres, y su clasificación, en fin, muchas veces se nos dificulta este tipo de temas pero si repasas y estudias podras entenderlo. Tambien aprendi sus elementos y todo lo que lo componen, asi como sus angulos y como trazarlos.

viernes, 20 de septiembre de 2013

Ecuaciones cuadráticas

Una ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación cuadrática de una variable es:

$ax^2 + bx + c = 0, \quad \mbox{para}\;a\neq 0$

donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es un coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede representar mediante una gráfica de una función cuadrática o parábola. Esta representación gráfica es útil, porque la intersección de esta gráfica con el eje horizontal coinciden con las soluciones de la ecuación (y dado que pueden existir dos, una o ninguna intersección, esos pueden ser los números de soluciones de la ecuación).

En esta imagen, los puntos comunes de una parábola con el eje X (recta y = 0), las raíces, son las soluciones reales de la ecuación cuadrática.

Fórmula cuadrática

Para una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas (si los coeficientes son reales y existen dos soluciones no reales, entonces deben ser complejas conjugadas). Se denomina fórmula cuadrática a la ecuación que proporciona las raíces de la ecuación cuadrática:

$x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

donde el símbolo ± indica que los valores

$x_1 = \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

$\ x_2 = \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

constituyen las dos soluciones.

Ecuaciones cuadráticas disfrazadas

Algunas ecuaciones no parece que sean cuadráticas, pero con manipulaciones astutas se pueden transformar en una:

Disfrazadas	Qué hacer	En forma estándar	a, b y c
x² = 3x -1	Mueve todos los términos a la izquierda	x² - 3x + 1 = 0	a=1, b=-3, c=1
2(x² - 2x) = 5	Desarrolla paréntesis	2x² - 4x - 5 = 0	a=2, b=-4, c=-5
x(x-1) = 3	Desarrolla paréntesis	x² - x - 3 = 0	a=1, b=-1, c=-3
5 + 1/x - 1/x² = 0	Multiplica por x²	5x² + x - 1 = 0	a=5, b=1, c=-1

¿Cómo puedo distinguir si es una ecuación cuadrática?

Sólo si se puede poner en la forma ax² + bx + c = 0, y a no es cero.

El nombre viene de "cuad" que significa cuadrado, así que la mejor pista es que la potencia sea un cuadrado (en otras palabras x²).

Discriminante

En la fórmula anterior, la expresión dentro de la raíz cuadrada recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. Suele representarse con la letra D o bien con el símbolo Δ (delta):

$\Delta = b^2 - 4ac.\,$

Una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene o bien dos soluciones reales distintas o una sola solución real de multiplicidad 2, o bien dos raíces complejas. El discriminante determina la índole y la cantidad de raíces.

Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje de las abscisas: X):

$\frac{-b + \sqrt {\Delta}}{2a} \quad\text{y}\quad \frac{-b - \sqrt {\Delta}}{2a}$ .

Una solución real doble si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje de las abscisas: X):

$-\frac{b}{2a} . \,\!$

Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola no corta al eje de las abscisas: X):

$\frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a}, \quad\text{y}\quad \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a},$

donde i es la unidad imaginaria.

En conclusión, las raíces son distintas si el discriminante es no nulo, y son números reales si –sólo si– el discriminante es no negativo.

File:Quadratic equation discriminant.png

Ejemplo del signo del discriminante:
■ < 0: no posee soluciones reales;
■ = 0: posee una solución real (multiplicidad 2);
■ > 0: posee dos soluciones reales distintas.

Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax² + bx + c = 0 , puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:

Solución por factorización

En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.

Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.

Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.

Solución por completación de cuadrados

Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:

(ax + b)² = n

en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)², es el cuadrado de la suma de un binomio.

Partiendo de una ecuación del tipo

x² + bx + c = 0

Solución por la fórmula general

Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguiente:

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula.

La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.

Trabajando con ecuaciones de segundo grado

Como lo dijimos al comienzo, cualquier ecuación de segundo grado puede, mediante transformaciones, expresarse en la forma ax² + bx + c = 0, donde a, y b son los coeficientes de los términos x² y x, respectivamente y c es el término independiente.

Ecuación de segundo grado completa

Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres coeficientes a, b, y c son distintos de cero.

Entonces, la expresión de una ecuación de segundo grado completa es

ax² + bx + c = 0.

Ecuación de segundo grado incompleta

Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos b o c, o ambos, son cero.

(Si a = 0, la ecuación resultante sería bx + c = 0, que no es una ecuación de segundo grado.)

La expresión de una ecuación de segundo grado incompleta es:

ax² = 0; si b = 0 y c = 0.

ax² + bx = 0; si c = 0.

ax² + c = 0; si b = 0.

Link de video donde te explican las soluciones de ecuaciones cuadráticas:

http://www.youtube.com/watch?v=xmzG2xR-oBI

Link de video de ejemplo de una ecuación cuadrática:

http://www.youtube.com/watch?v=1tEaxO95b-0

PRESENTACIONES:
http://es.slideshare.net/sistematizacion/ecuaciones-cuadrticas
http://es.slideshare.net/gonzy/solucion-de-la-ecuacion-cuadratica
http://www.slideshare.net/margaritapatino/ecuacion-de-segundo-grado-3906382

:D ♥

CONCLUSIÓN:

Al principio, me imagino que todos tuvimos muchas dificultades!, pero practicando y resolviendo los problemas con la utilizacion de ecuaciones, te das cuenta que no es tan dificil como lo pensabas. Ese fue mi caso, sentia que ya no podia mas con las ecuaciones, gracias que por fin pude entenderlas, ahora ya no tengo tantos problemas al realizar un problema con las ecuaciones.