Blog de matemáticas: febrero 2014

domingo, 9 de febrero de 2014

3 BLOQUE: Discriminante de la fórmula general

b2 − 4ac se llama discriminante de la ecuación y permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir tres casos:

b2 − 4ac > 0

La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos.

ecuaciçon

b2 − 4ac = 0

La ecuación tiene una solución doble.

b2 − 4ac < 0

La ecuación no tiene soluciones reales.

ENLACES (PINCHAR AQUÍ):
http://es.slideshare.net/UnozxcvDoszxc/formula-general-analisis-del-discriminante
http://es.slideshare.net/maruja1945/discriminante-de-una-ecuacin-de-segundo-grado

Pues en realidad yo digo que aquí no hay mucho que decir porque es en base al resultado la discriminante, y pues básicamente es todo lo que tienes que entender, se sigue la formula para obtener el resultado y el resultado es la discriminante con las diferentes raices, hay que tener cuidado a la hora de hacer las operaciones porque si no nos fijamos nos puede llegar a salir mal.

3 BLOQUE: formula general

La fórmula general del conjunto de soluciones de una ecuación es la expresión matemática que engloba todas esas soluciones. Una ecuación de segundo grado puede tener de cero a dos soluciones, que pueden calcularse a partir de la siguiente fórmula general, de fácil demostración

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

donde el símbolo "±" indica que los dos valores

$x_1 = \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$ y $\ x_2 = \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

son soluciones. Es interesante observar que esta fórmula tiene las seis operaciones racionales del álgebra elemental.

Si observamos el discriminante (la expresión dentro de la raíz cuadrada):

$b^2 - 4ac \,$

podremos saber el número y naturaleza de las soluciones:

*Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje x);

*Una solución real doble, dicho de otro modo, de multiplicidad dos, si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje x);

*Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola y el eje x no se cruzan).

Un ejemplo de ellos son:

Ejemplo:

X2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8

x = -2 ± 6

X1 = -2 + 6 x2 = -2 - 6

2 2

x1 = 4 x2 = - 8

2 2

x1 = 2 x2 = - 4

CASOS ESPECIALES:

Es posible que no existan soluciones en el conjunto de los números reales. Esto sucede cuando es negativo. En ese caso $\sqrt{b^2-4ac}$ no es un número real, porque ya se sabe que todo número real elevado al cuadrado, es positivo. (Radicación) Por ejemplo, en la ecuación , se tiene: $\begin{displaymath} a=3,\quad b=2,\quad c=8 \end{displaymath}$ La fórmula en este caso da lo siguiente: $\begin{eqnarray*} x & = & \frac{-2\pm\sqrt{4-4(3)(8)}}{2(3)} \\ [.5cm] x & =... ...m\sqrt{4-96}}{6} \\ [.5cm] x & = & \frac{-2\pm\sqrt{-92}}{6} \end{eqnarray*}$ como $\sqrt{-92}$ no es un número real, la ecuación no tiene soluciones reales.

ENLACES (PINCHAR AQUÍ):

http://es.slideshare.net/jorgeascencio/formula-general-9636062

http://es.slideshare.net/koryald/frmula-general-ec-cuadrticas

http://es.slideshare.net/matematicasec29/ecuacion-de-formula-general

Pues en este tema al principio no podia entenderlo porque me revolvia mucho pero ya luego lo fui entendiendo con la practica es decir, con los ejercicios y pude entenderlo y darme cuenta que este tema igual esta facil pues solo es seguir la formula general para obtener el resultado de la ecuacion, pude aclarar mis dudas, tambien en este tema hay que darse mucha cuenta de los signos porque igual se nos puede olvidar y poner o cambiar el signo y pues ya toda la ecuacion estaria mal y tendriamos que corregir todo.

3 BLOQUE: Homotecia directa e inversa

HOMOTECIA

Es la transformación geométrica que no tiene una imagen congruente, ya que a partir de una figura dada se obtienen una o var9ias figuras en tamaño mayor o menor que la figura dada, para obtenerlas se parte de un punto escogido arbitrariamente, al cual se llama centro de homotecia, del cual se trazan segmentos de recta, tantos como vértices tenga la figura que se va a transformar, se debe considerar otro elemento básico para desarrollar esta transformación, siendo esta una constante, la cual se denomina constante de homotecia que viene a ser la escala en la cual se realiza la reproducción.

Tiene las siguientes propiedades:

Los ángulos de las figuras por homotecia son iguales ya que tienen la misma medida.

Los segmentos con paralelos.

Las dimensiones de dos figuras por homotecia son directamente proporciónales; esta proporción es fijada por la constante de homotecia.

Aquellas figuras que no cumplen con la propiedad de ser paralelos los segmentos se les denomina figuras semejantes, a las que cumplen con todas las propiedades se les denomina figuras homoteticas.

En una homotecia de centro el punto O y razón k:

Si k > 0, A y A′ están al mismo lado de O, y se dice que la homotecia es directa:

Y si k < 0, A y A′ están a distinto lado de O, y se dice que la homotecia es inversa:

ENLACES (PINCHAR AQUÍ):
http://es.slideshare.net/luxhexhita/homotecia-9545117

http://es.slideshare.net/MORLAKITOUX/homotecia-10031475

HOMOTECIA DIRECTA:

HOMOTECIA INVERSA:

En lo personal esto de homotecia inversa y directa igual se me hace muy faciles de hacer y de comprender pues en realidad no hay que hacer nada mas que medir y medir, ya habia dicho anteriormente dos veces que estos temas se me hacen muy faciles de hacer porque me gustan, creo que lo que tengo que decir ya lo habia dicho antes, pero es muy facil comprenderlo.

3 BLOQUE: Simetría central

Simetría Central es cuando todas las partes tienen una parte correspondiente que está a la misma distancia del punto central pero en la dirección opuesta.

Se ve igual cuando de lo mira desde direcciones opuestas, como izquierda vs. derecha, o si se lo gira al revés.

*La simetría central pasa cuando cada parte tiene otra que le corresponde:

a la misma distancia del punto central
pero en la direción contraria.

EJEMPLOS:

Los naipes suelen tener simetría central, porque que se ven igual desde arriba o abajo.

Estas letras también tienen simetría central.

¿Lo mismo desde direcciones opuestas?

Sí: elige una dirección, y si algo tiene simetría central se verá igual desde la dirección contraria.

Ejemplo: si cortas esta carta con un ángulo de 45°, las dos mitades serán idénticas. Es decir, si las miras desde un ángulo de 45°, y desde la dirección contraria a 45° (que es 225°) ves lo mismo.

OTRO EJEMPLO:

Dibuja el triángulo simétrico respecto del centro O del triángulo dado ABC.

Cualquier punto cumple las dos siguientes condiciones:

A y A’ están alineados: la recta que los une pasa por O.
La distancia de O al punto A es igual que la de O al transformado A’.

ENLACES (PINCHAR AQUÍ):
http://es.slideshare.net/letsbelievenow/simetra-central

http://es.slideshare.net/miguelmagno98/simetra-central-16145916

En mi opinión este tema al igual que el tema anterior (simetría axial) se me hace facil de aprender y como ya habia dicho antes, disfrute mucho hacer los ejercicios que nos dejaba mi maestra sobre estos temas, ya que me gusta hacerlo, algunas veces me confundí porque me revolvia al poner cual es cual y hasta ahora me cuesta algo diferenciarlos y no se porque, pero en resumen es facil de hacer.

3 BLOQUE: Simetría axial

Una simetría axial de eje e es una transformación, por tanto a todo punto P del plano le corresponde otro punto P' también del plano, de manera que el eje e sea la mediatriz del segmento A A'.

Las simetrías axiales son isometrías porque conservan las distancias entre los puntos y sus homólogos.

La figura original y la imágen siempre serán las mismas, y en caso de no ser así, entonces no será una simetría axial.

COMPOSICIÓN DE SIMETRÍAS AXIALES

1) Simetría de ejes paralelos:

La composición de dos simetrías ejes paralelos e y e' es una traslación, cuyo vector tiene:

-La longitud del vector es el doble de la distancia entre los ejes.

-La dirección del vector es perpendicular a los ejes.

-El sentido es el que va de e a e'.

2) Simetría de ejes perpendiculares:

La composición de dos simetrías de ejes perpendiculares e y e' es una simetría central respecto del punto de corte de los dos ejes de simetría.

3) Eje de simetría:

El eje de simetría de una figura es la recta que divide a la figura en dos partes iguales, de modo que define una simetría axial entre una parte y otra.

ENLACES (PINCHAR AQUÍ): http://es.slideshare.net/ceciliabonifacino9/simetria-axial-14875378
http://es.slideshare.net/miriamvega12/simetria-axial-9038204
http://trans-isometricas.blogspot.mx/2008/10/simetria-axial-simetria-axial-view.html

Enlo general me gustó poder hacer la simetría axial con los ejercicios de mi maestra, porque para mí es un tema súper fácil de entender, yo pienso que todos lo habrán visto como yo pero en realidad no sé, es un tema de los que me gusta hacer desde que estaba chica aunque aveces me confundo pero eso no lo es siempre, tal vez habrá algunas personas a quienes se les complica pero yo no le veo lo complicado a este tema.

3 BLOQUE: Teorema de pitágoras

Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema

de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado.

* - La hipotenusa es el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.

* - Los catetos son los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto.

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes $a\,$ y $b\,$ , y la medida de la
hipotenusa es $c\,$ , se establece que:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}\,$

De la ecuación se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:

$a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}$
(si vas a buscar a)

$b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}$
(si vas a buscar b)

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$
(si vas a buscar c)

AQUÍ UN EJEMPLO EXPLÍCATIVO:

1) Calculando la longitud de una escalera sabiendo que esta apoyada en la pared a una distancia de 1.8 m y alcanza una altura de 7 m.

PASOS:
1. hacemos un gráfico que nos aclara la situación
Si tenemos en cuenta la escalera al tocar la pared forma la hipotenusa de un triangulo rectángulo, y si nos fijamos bien ya tenemos los dos catetos.
2.aplicamos el teorema de pitagoras:

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

C = √(1.80)² + (7)²

C = √3.24+49

C = √52.24

C =7.24m

Respuesta:

La escalera mide 7.24m

EJEMPLOS:

1) Un triángulo rectangulo tiene catetos 7 y 9 respectivamente, Calcular la hipotenusa.

c es la hipotenusa

c =√ (7)² + (9)²

c =√ 49 +81

c = √130
c=11.4018

2) Un triángulo rectángulo que también es isosceles tiene una hipotenusa de 14 cm calcular la medida de sus catetos.

como es un triángulo isosceles entonces tiene dos catetos iguales, por lo tanto:

a² + a² = 14²

2a² = 196

a² = 196/2

a= √(98)

a= 9.86

cada uno de los catetos mide 9.86

3)Se tiene un triángulo equilatero de 10 cm por lado calcular su área.

fórmula del triangulo bxh/2

la base es 10

la altura es B² = 10² - (10/2)² ---------(B es un cateto)

C² = 100 -25

C= √(75)

C= 8.66

entonces la fórmula del Área queda:

bXH/2

(10)(8.66)/ 2

43.3

el Área es 43.3 cm

ENLACES (Pinchar aquí):
http://es.slideshare.net/yolimaratacho/el-teorema-de-pitagoras
http://es.slideshare.net/johancaballero/teorema-de-pitagoras-1078512
http://es.slideshare.net/lilianeribasdasilva/teorema-de-pitgoras-1617445
http://es.slideshare.net/Ing-D-SW-TorresKhano--ME/teorema-de-pitagoras-14957651
http://es.slideshare.net/blankmar/teorema-de-pitgoras-157633

Este tema en lo personal se me hizo muy fácil de hacer, puesto que sólo es cuestión de fijarte en qué es lo que tienes que buscar en el problema, hay algunos que fueron confusos pero sólo tienes que leer y comprender para poder buscar la solución al problema, claro, aplicando bien el teorema de pitagoras, tal vez hayan algunas personas que aún no lo logren entender y puede ser que sea porque no prestan atención!, pero en realidad es super facil de realizar, al menos en los problemas que he realizado se me han hecho super sencillos.