3 BLOQUE: Simetría central

Simetría Central es cuando todas las partes tienen una parte correspondiente que está  a la misma distancia del punto central  pero en la dirección opuesta.

Se ve igual cuando de lo mira desde direcciones opuestas, como izquierda vs. derecha, o si se lo gira al revés.

*La simetría central pasa cuando cada parte tiene otra que le corresponde:

• a la misma distancia del punto central
• pero en la direción contraria.

EJEMPLOS:

Los naipes suelen tener simetría central, porque que se ven igual desde arriba o abajo.

Estas letras también tienen simetría central.

                 ¿Lo mismo desde direcciones opuestas?

Sí: elige una dirección, y si algo tiene simetría central se verá igual desde la dirección contraria.

Ejemplo: si cortas esta carta con un ángulo de 45°, las dos mitades serán idénticas. Es decir, si las miras desde un ángulo de 45°, y desde la dirección contraria a 45° (que es 225°) ves lo mismo.

                           

OTRO EJEMPLO:

Dibuja el triángulo simétrico respecto del centro O del triángulo dado ABC.

Cualquier punto cumple las dos siguientes condiciones:

• A y A’ están alineados: la recta que los une pasa por O.
• La distancia de O al punto A es igual que la de O al transformado A’.

ENLACES (PINCHAR AQUÍ):
http://es.slideshare.net/letsbelievenow/simetra-central

http://es.slideshare.net/miguelmagno98/simetra-central-16145916

En mi opinión este tema al igual que el tema anterior (simetría axial) se me hace facil de aprender y como ya habia dicho antes, disfrute mucho hacer los ejercicios que nos dejaba mi maestra sobre estos temas, ya que me gusta hacerlo, algunas veces me confundí porque me revolvia al poner cual es cual y hasta ahora me cuesta algo diferenciarlos y no se porque, pero en resumen es facil de hacer.

3 BLOQUE: Simetría axial

 

Una simetría axial de eje e es una transformación, por tanto a todo punto P del plano le corresponde otro punto P' también del plano, de manera que el eje e sea la mediatriz del segmento A A'.

Las simetrías axiales son isometrías porque conservan las distancias entre los puntos y sus homólogos.

La figura original y la imágen siempre serán las mismas, y en caso de no ser así, entonces no será una simetría axial.

              

              COMPOSICIÓN DE SIMETRÍAS AXIALES

1) Simetría de ejes paralelos:

La composición de dos simetrías ejes paralelos e y e' es una traslación, cuyo vector tiene:

-La longitud del vector es el doble de la distancia entre los ejes.

-La dirección del vector es perpendicular a los ejes.

-El sentido es el que va de e a e'.

2) Simetría de ejes perpendiculares:

La composición de dos simetrías de ejes perpendiculares e y e' es una simetría central respecto del punto de corte de los dos ejes de simetría.

3) Eje de simetría: 

El eje de simetría de una figura es la recta que divide a la figura en dos partes iguales, de modo que define una simetría axial entre una parte y otra.



ENLACES (PINCHAR AQUÍ): http://es.slideshare.net/ceciliabonifacino9/simetria-axial-14875378
http://es.slideshare.net/miriamvega12/simetria-axial-9038204
http://trans-isometricas.blogspot.mx/2008/10/simetria-axial-simetria-axial-view.html

                                           
Enlo general me gustó poder hacer la simetría axial con los ejercicios de mi maestra, porque para mí es un tema súper fácil de entender, yo pienso que todos lo habrán visto como yo pero en realidad no sé, es un tema de los que me gusta hacer desde que estaba chica aunque aveces me confundo pero eso no lo es siempre, tal vez habrá algunas personas a quienes se les complica pero yo no le veo lo complicado a este tema.

3 BLOQUE: Teorema de pitágoras

Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema 

de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado.



* - La hipotenusa es el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.

* - Los catetos son los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto.

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes  y , y la medida de la 
hipotenusa es , se establece que:

De la ecuación se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:

(si vas a buscar a)

(si vas a buscar b)

(si vas a buscar c)

AQUÍ UN EJEMPLO EXPLÍCATIVO:

1) Calculando la longitud de una escalera sabiendo que esta apoyada en la pared a una distancia de 1.8 m y alcanza una altura de 7 m.

PASOS:
1. hacemos un gráfico que nos aclara la situación
Si tenemos en cuenta la escalera al tocar la pared forma la hipotenusa de un triangulo rectángulo, y si nos fijamos bien ya tenemos los dos catetos.
2.aplicamos el teorema de pitagoras:

 

C = √(1.80)² + (7)²

C = √3.24+49

C = √52.24

C =7.24m

Respuesta:

La escalera mide 7.24m

EJEMPLOS:

1) Un triángulo rectangulo tiene catetos 7 y 9 respectivamente, Calcular la hipotenusa. 

c es la hipotenusa 

c =√ (7)² + (9)² 

c =√ 49 +81 

c = √130 
c=11.4018 

2) Un triángulo rectángulo que también es isosceles tiene una hipotenusa de 14 cm calcular la medida de sus catetos. 

como es un triángulo isosceles entonces tiene dos catetos iguales, por lo tanto: 

a² + a² = 14² 

2a² = 196 

a² = 196/2 

a= √(98) 

a= 9.86 

cada uno de los catetos mide 9.86 

3)Se tiene un triángulo equilatero de 10 cm por lado calcular su área. 

fórmula del triangulo bxh/2 

la base es 10 

la altura es B² = 10² - (10/2)² ---------(B es un cateto) 

C² = 100 -25 

C= √(75) 


C= 8.66 

entonces la fórmula del Área queda: 

bXH/2 

(10)(8.66)/ 2 

43.3 

el Área es 43.3 cm 


ENLACES (Pinchar aquí):
http://es.slideshare.net/yolimaratacho/el-teorema-de-pitagoras
http://es.slideshare.net/johancaballero/teorema-de-pitagoras-1078512
http://es.slideshare.net/lilianeribasdasilva/teorema-de-pitgoras-1617445
http://es.slideshare.net/Ing-D-SW-TorresKhano--ME/teorema-de-pitagoras-14957651
http://es.slideshare.net/blankmar/teorema-de-pitgoras-157633

Este tema en lo personal se me hizo muy fácil de hacer, puesto que sólo es cuestión de fijarte en qué es lo que tienes que buscar en el problema, hay algunos que fueron confusos pero sólo tienes que leer y comprender para poder buscar la solución al problema, claro, aplicando bien el teorema de pitagoras, tal vez hayan algunas personas que aún no lo logren entender y puede ser que sea porque no prestan atención!, pero en realidad es super facil de realizar, al menos en los problemas que he realizado se me han hecho super sencillos.

4to. Caso de factorización: Diferencia de cuadrados

Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta.

*Al factorizar una diferencia de cuadrados siempre vamos a obtener binomios conjugados (los binomios conjugados son aquellos que consta de dos términos, un término común y un término simétrico -los simétricos son un positivo y un negativo-).

Para factorizar la diferencia de cuadrados se extra la raíz de ambos términos para formar los binomios conjugados colocando a un binomio el signo el signo positivo y al otro el signo negativo.

 Al estudiar los productos notables teníamos que:

En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este capítulo es el caso contrario:

Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases.

Pasos:

1. Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.

2. Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo termino del binomio negativo es la raíz del termino del binomio que es negativo).

Ejemplo explicativo:

Ejemplo #2:

(Con potencias distintas de 2)

x⁶ - 4 = (x³ + 2).(x³ - 2)

x³   2

x⁶ es también un cuadrado, es el cuadrado de x³. Ya que (x³)² es igual a x⁶

EXPLICACIÓN:

1) Las bases son: x³ y 2. Ya que (x³)² es igual a x⁶. 

2) Pongo esas bases sumando y restando, entre paréntesis y multiplicándose. El resultado de la factorización es entonces:

(x³ + 2).(x³ - 2)         

SUMA POR RESTA DE LAS BASES

Es decir: "Las bases sumadas, multiplicado por la bases restadas".

http://es.slideshare.net/andrelosano/diferencia-de-cuadrados-factorizacin

http://es.slideshare.net/maruja1945/factorizar-la-diferencia-de-dos-cuadrados

http://www.youtube.com/watch?v=mjaOvauIjPU

http://www.youtube.com/watch?v=0bv2Hh6SmY0

En este tema de factorizar una diferencia de cuadrados, en lo personal fue algo complicado al principio, pero al aclarar mis dudas y realizar ejercicios pude comprenderlo y entenderlo mejor, el procedimiento no es nada dificil pues es corto y facil de recordar, pude entender este tema, es cuestion de prestar atención y siempre tomar nota de los puntos que creas importantes o los que creas que te van a servir.

3er. Caso de factorización: Factorizando un trinomio de segundo grado

* Al factorizar un trinomio de segundo grado obtenemos binomios con término común.
* Polinomio de este tipo , siendo a, b y c números.
* El conjunto de tres monomios cuyo exponente máximo es 2. 


Los pasos a seguir para factorizar un trinomio de segundo grado son los siguientes:


1.- Sacar la raíz cuadrada al término cuadrático.

2.- Buscar una pareja de números que tengan como suma el coeficiente de término lineal.

3.- Como producto, será el término independiente.

EJEMPLO:

Se iguala el trinomio a cero , se resuelve la ecuación , y si tiene dos soluciones distintas,  y se aplica la siguiente fórmula: 

Veamos un ejemplo: Factorizar el polinomio 

Igualamos a cero 

Resolvemos la ecuación , y separando las dos soluciones , , y aplicando la fórmula, teniendo en cuenta que a=2

http://www.youtube.com/watch?v=Sqi9Ct-zhHY

http://www.youtube.com/watch?v=eN2jE9JL4Oo

http://www.youtube.com/watch?v=Ce5qygeW8hA

En este tema de factorizar un trinomio de segundo grado, en mi opinión, al principio, como casi siempre se me hizo algo complicado de entender, ya que se me vinieron muchas dudas a la cabeza, pero ya luego logré comprenderlo y pude realizar los ejercicios que la maestra nos daba,  el procedimiento a seguir es fácil pues no es tan largo, es fácil de recordar, eso es algo que ayuda mucho pues no te revuelves tanto y puedes acordarte rápidamente.

2do. Caso de factorización: Factorizando un trinomio cuadrado perfecto

La palabra factorización hace referencia a una de las 4 operaciones básicas de la aritmética. Un trinomio cuadrado perfecto, es el resultado de un binomio al cuadrado, esto significa que: a² + 2ab + b² = (a + b)^2.


Se llama trinomio cuadrado perfecto (TCP) al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

             Es un Trinomio cuadrado perfecto (TCP) cuando:

* Los dos términos tienen raíz cuadrada.


* El tercer término corresponde al doble producto de la raiz cuadrada de los dos términos del punto anterior.

      Los pasos a seguir para factorizar un Trinomio cuadrado perfecto son los siguientes:

1.- Sacar la raíz cuadrada de dos términos que tengan raíz cuadrada exacta.

2.- Multiplicar esas raíces obtenidas por dos, el resultado debe de ser el término NO utilizado, o bien dicho el segundo término.

3.- Las raíces obtenidas serán los que formen parte del binomio al cuadrado separados por el signo del segundo término.

Ejemplo simple:

http://es.slideshare.net/joselin33/trinomio-cuadrado-perfecto-javier-rivera

 ^{http://www.slideshare.net/luiscardona55/trinomio-cuadradoperfecto-factorizacionblogspot}

http://es.slideshare.net/rexr/trinomio-cuadrado-perfecto

http://www.youtube.com/watch?v=sXNm9C34APU

http://www.youtube.com/watch?v=_YpSJt3__qI

Pues en este tema de factorizar un trinomio cuadrado perfecto, desde mi punto de vista, al principio no lograba entenderlo, pero ya luego con los ejercicios y las prácticas me di cuenta que no era difícil de entender, y ahí todo se me facilito mucho, logré entender y sí, en realidad es muy fácil, sólo hay que prestar atención, estar muy atentos cuando la maestra hable para que todo se nos facilite y podamos hacer los ejercicios o resolver cualquier trinomio cuadrado perfecto.

Ecuaciones cuadráticas por factorización♥

1er. Caso: Factorización por factor común

Los pasos a seguir para este primer caso, son:

1.- Sacar el M.C.D. (Máximo común divisor) de los números, el cual representará el factor común de los números.

2.- Determinar el factor común de las literales tomando la que tiene menor exponente y que se encuentra en todos los términos.

3.- Seguidamente dividir cada uno de los términos entre el factor común.

4.- Una vez realizada la factorización, hay que igualar cada factor a CERO.

5.- Luego se necesita despejar y resolver como una ecuación lineal.

6.- Por último, realizar las comprobaciones con la ecuación original. 





HALLAR EL FACTOR COMÚN:

Sacar factor común a un polinomio consiste en aplicar lapropiedad distributiva.

a · x + b · x + c · x = x (a + b + c)

Una raíz del polinomio será siempre x = 0

x³ + x² = x² (x + 1)

La raíces son: x = 0 y x = − 1 

 SOLUCIÓN POR FACTORIZACIÓN:

El método para solucionar ecuaciones de segundo grado por medio de la factorización es un poco complicado pero con algo de práctica se puede obtener cierta habilidad, este método se basa en que el producto de dos o más factores es cero, si cualquiera de los factores es cero.

 Como  toda ecuación  cuadrática es  equivalente a  una ecuación  en la cual uno  de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, se procede así: 

Si  entonces,  la  ecuación   es equivalente a:(1). 

La  ecuación (1)  puede resolverse usando la  propiedad del sistema de los números reales: 

                                                             

* Encontrar los factores de una ecuación es uno de los conceptos más importantes en álgebra básica, ya que tiene muchas aplicaciones en la resolución de problemas y al trabajar con ecuaciones y sistemas de ecuaciones. 

* Los factores de una ecuación algebraica son análogos a los factores primos de un número compuesto; se combinan a través de la multiplicación para formar el polinomio original y que no se pueden dividir más que eso.

* Encontrar los factores de una ecuación permite encontrar las raíces de la ecuación (los valores de x que hacen que la ecuación sea igual a cero).

http://www.youtube.com/watch?v=kbQwYQ5Myws
http://www.youtube.com/watch?v=CC5UjQ_aVAU
http://www.slideshare.net/evera1031/resolvamos-ecuaciones-cuadrticas-por-factorizacin

Al principio de este tema fue algo que en realidad no lograba entender, se me hizo (más que los otros casos) complicado, trataba de entenderlo y no podía, pero con los ejercicios que mi maestra nos ponía fue cuando todo lo fui entendiendo y comprendiendo, comencé a resolverlo y ví que lograba terminarlo. Al momento de querer aclarar mis dudas, por pensar que eran tan tontas nunca lo hice, fue por eso que no le entendí hasta después. En lo personal fue complicado pero con la práctica y siguiendo los pasos, logras un resultado bastante bien.